La función p(x)=a0+a1x+a2x2+..........+anxn,
en la que los coeficientes ak son constantes, se llama
polinomio de grado n. En particular y=ax+b es un polinomio de primer grado e
y=ax2+bx+c es un polinomio de segundo grado. Los polinomios
pueden considerarse las funciones más sencillas de todas. Para calcular su
valor para una x dada, necesitamos emplear únicamente las operaciones de
adición, sustracción y multiplicación; ni siquiera la división es necesaria.
Los polinomios son funciones continuas para todo x y tienen derivadas de
cualquier orden. Además la derivada de un polinomio es también un polinomio de
grado inferior en una unidad, y las derivadas de orden n+1 y superiores de un
polinomio de grado n son nulas.Si a los polinomios añadimos las
funciones de la forma y=p(x)/q(x)(cociente de polinomios, para cuyo
cálculo necesitamos también de la división), las funciones raíz cuadrada de x y
raíz cúbica de x, y finalmente, las combinaciones aritméticas de los tipos
anteriores, obtenemos esencialmente las funciones cuyos valores pueden
calcularse por métodos aprendidos en el bachillerato.A este nivel se tienen nociones
de algunas otras funciones tales comolog(x), sen(x), ex, ...,
pero, aunque se estudian sus propiedades más importantes, no se da una
respuesta a las preguntas: ¿Cómo calcularlas? ¿Qué clase de operaciones, por
ejemplo, es necesario realizar sobre la x para obtener log(x) o sen(x)?. La
respuesta a estas preguntas la proporcionan los métodos desarrollados por el
análisis matemático.Fórmula de
TaylorSea f(x) una función definida en
un intervalo que contiene al punto a, con derivada de todos los órdenes.El polinomio de primer
grado p1(x) = f(a) + f ' (a) (x-a) tiene el mismo
valor que f(x) en el punto x=a y también, como se comprueba
fácilmente, la misma derivada que f(x) en este punto. Su gráfica es una recta
tangente a la gráfica de f(x) en el punto a.Es posible elegir un polinomio de
segundo grado, p2(x) = f(a) + f ' (a) (x-a) + ½ f ' ' (a)
(x-a)2, tal que en el punto x=a tenga el mismo valor que f(x) y
valores también iguales para su primera y segunda derivadas. Su gráfica en el
punto a se acercará a la de f(x) más que la anterior. Es natural esperar que si
construimos un polinomio que en x=a tenga las mismas n primeras derivadas que
f(x) en el mismo punto, este polinomio se aproximará más a f(x) en los puntos x
próximos.
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