CALCULO INTEGRAL: 4.4 RADIO DE CONVERGENCIA

En matemáticas según el teorema de Cauchy-Hadamard el radio de convergencia de una serie de la forma $\sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n$ , con $a_n,x,x_0\in\mathbb{R}$ , viene dado por la expresión:

$R = \frac{1}{\lim_{n \to \infty} \left | \frac{a_{n+1}}{a_n} \right |}$

Si nos limitamos al conjunto de los números reales una serie de la forma $\sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n$ , con $a_n,x,x_0\in\mathbb{R}$ , recibe el nombre de serie de potencias centrada en $x 0$ . La serie converge absolutamente para un conjunto de valores de $x$ que verifica que $| x - x 0 | < r$ , donde r es un número real llamado radio de convergencia de la serie. Esta converge, pues, al menos, para los valores de $x$ pertenecientes al intervalo $(x 0 - r,$ $x 0 + r)$ , ya que la convergencia para los extremos de este ha de estudiarse aparte, por lo que el intervalo real de convergencia puede ser también semiabierto o cerrado. Si la serie converge solo para $x 0$ , $r = 0$ . Si lo hace para cualquier valor de $x$ , $r =$ $\infty \,\!$

Ejemplos

Mostraremos el radio de convergencia de algunos desarrollos en series de potencias con sus respectivos radios de convergencia sin justificar porqué el radio de convergencia es el dado.

RADIO DE CONVERGENCIA FINITO

La función

1 / (1 - x)

en su desarrollo con centro 0, o sea, en series de potencia

x - x 0 = x - 0 = x

, tiene el siguiente aspecto:

$\frac{1}{1-x}=\sum_{n=0}^\infty x^n=1+x+x^2+x^3+...$ .

(para el cálculo de la serie vea serie de Taylor). Su radio de convergencia es $r = 1$ . Eso significa que para calcular si tomo cualquier valor cuya distancia al